Pengantar
Salah satu teknik penentuan solusi optimal yang
digunakan dalam pemrograman linier adalah metode simpleks. Penentuan solusi optimal menggunakan metode
simpleks didasarkan pada teknik eleminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi
optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim satu per satu dengan cara
perhitungan iteratif. Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks
dilakukan tahap demi tahap yang disebut dengan iterasi. Iterasi ke-i hanya
tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).
Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan
dalam metode simpleks, diantaranya :
- Iterasi adalah tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.
- Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.
- Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤ ) atau variabel buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).
- Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
- Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
- Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
- Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variabel hanya ada di atas kertas.
- Kolom pivot (kolom kerja) adalah kolom yang memuat variabel masuk. Koefisien pada kolom ini akn menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot (baris kerja).
- Baris pivot (baris kerja) adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.
- Elemen pivot (elemen kerja) adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.
- Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.
- Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iiterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.
BENTUK BAKU
Sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk
menentukan solusi optimal, pertama sekali bentuk umum pemrograman linier
dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks
tidak hanya mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan, tetapi
setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variabel basis awal. Variabel
basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas
yang dilakukan. Dengan kata lain, variabel keputusan semuanya masih bernilai
nol. Dengan demikian, meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman
linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap
berubah.
Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu :
- Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.
- Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.
- Fungsi kendala dengan persamaan dalam benttuk umum,ditambahkan satu artificial variabel (variabel buatan).
Perhatikan kasus A berikut :
Fungsi
tujuan : minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2
Kendala
:
x1
+ x2 = 90
0.001 x1 +
0.002 x2 ≤ 0.9
0.09 x1 +
0.6 x2 ≥ 27
0.02 x1 +
0.06 x2 ≤ 4.5
x1, x2
≥ 0
Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman liniernya. Kedalam bentuk
baku, model matematik tersebut akan berubah menjadi :
Fungsi
tujuan : minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2
Kendala
:
x1 + x2
+ s1 = 90
0.001 x1 + 0.002 x2
+ s2 = 0.9
0.09 x1 + 0.6 x2
– s3 + s4 = 27
0.02 x1 + 0.06 x2
+ s5 = 4.5
x1, x2 , s1,
s2, s3, s4, s5 ≥ 0
Fungsi kendala pertama
mendapatkan variable buatan (s1), karena bentuk umumnya sudah
menggunakan bentuk persamaan. Fungsi kendala kedua dan keempat mendapatkan variabel slack (s2 dan
s5) karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≤, sedangkan fungsi kendala
ketiga mendapatkan variabel surplus (s3) dan variabel buatan (s4)
karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≥.
Perhatikan pula kasus B berikut ini :
Maksimumkan z = 2x1
+ 3x2
Kendala :
10 x1 + 5 x2
≤ 600
6 x1 + 20 x2
≤ 600
8 x1 + 15 x2
≤ 600
x1, x2 ≥
Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan ke dalam bentuk baku
hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan
bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah
sebagai berikut :
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1
+ 0s2 + 0s3
Kendala :
10 x1 + 5 x2 + s1 =
600
6 x1 + 20 x2 + s2 =
600
8 x1 + 15 x2 + s3 =
600
x1, x2 , s1 , s2 , s3
≥ 0
s1 , s2
, s3 merupakan variable
slack.
PEMBENTUKAN TABEL SIMPLEKS
Dalam perhitungan iterative, kita akan bekerja menggunakan tabel. Bentuk
baku yang sudah diperoleh, harus dibuat ke dalam bentuk tabel.
Semua variabel yang bukan variabel basis mempunyai solusi (nilai kanan)
sama dengan nol dan koefisien variabel basis pada baris tujuan harus sama
dengan 0. Oleh karena itu kita harus membedakan pembentukan tabel awal
berdasarkan variabel basis awal. Dalam sub bab ini kita hanya akan
memperhatikan fungsikendala yang menggunakan variabel slack dalam bentuk
bakunya, sedangkan yang menggunakan variabel buatan akan dibahas pada sub bab
lainnya.
Gunakan kasus B di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah :
VB
|
X1
|
X2
|
S1
|
S2
|
S3
|
solusi
|
Z
|
-2
|
-3
|
0
|
0
|
0
|
0
|
S1
|
10
|
5
|
1
|
0
|
0
|
600
|
S2
|
6
|
20
|
0
|
1
|
0
|
600
|
S3
|
8
|
15
|
0
|
0
|
1
|
600
|
LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN
Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut :
- Periksa apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan.
- Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien paling negatif. Jika tujuan minimisasi , maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai paling negatif (untuk tujuan maksimisasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.
- Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabl keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah sau secara sembarang.
- Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.
- Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak pada kolom tersebut.
- Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0. Pada tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no. 2 , jika sudah optimal baca solusi optimalnya.
Selesaikan kasus berikut ini menggunakan metode simpleks :
Maksimum z = 8 x1
+ 9 x2 + 4x3
Kendala :
x1 +
x2 + 2x3 ≤ 2
2x1 +
3x2 + 4x3 ≤ 3
7x1 +
6x2 + 2x3 ≤ 8
x1,x2,x3
≥ 0
Penyelesaian :
Bentuk bakunya
adalah :
Maksimum z = 8 x1
+ 9 x2 + 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3
atau
z - 8 x1 -
9 x2 - 4x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3
= 0
Kendala :
x1 +
x2 + 2x3 + s1
= 2
2x1 +
3x2 + 4x3 + s2 = 3
7x1 +
6x2 + 2x3 + s3
= 8
x1,x2,x3
,s1 , s2 , s3 ≥ 0
Solusi / table
awal simpleks :
VB
|
X1
|
X2
|
X3
|
S1
|
S2
|
S3
|
NK
|
Rasio
|
Z
|
-8
|
-9
|
-4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
S1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
0
|
0
|
2
|
|
S2
|
2
|
3
|
4
|
0
|
1
|
0
|
3
|
|
S3
|
7
|
6
|
2
|
0
|
0
|
1
|
8
|
Karena nilai negative terbesar ada
pada kolom X2, maka kolom X2 adalah kolom pivot dan X2
adalah variabel masuk. Rasio pembagian nilai kanan dengan kolom pivot terkecil adalah 1
bersesuaian dengan baris s2, maka baris s2
adalah baris pivot dan s2 adalah varisbel keluar. Elemen pivot
adalah 3.
VB
|
X1
|
X2
|
X3
|
S1
|
S2
|
S3
|
NK
|
Rasio
|
Z
|
-8
|
-9
|
-4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
S1
|
1
|
1
|
2
|
1
|
0
|
0
|
2
|
2
|
S2
|
2
|
3
|
4
|
0
|
1
|
0
|
3
|
1
|
S3
|
7
|
6
|
2
|
0
|
0
|
1
|
8
|
8/6
|
Iterasi 1
Nilai pertama yang kita miliki adalah nilai baris pivot baru (baris x2). Semua nilai pada baris s2 pada
tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen pivot).
VB
|
X1
|
X2
|
X3
|
S1
|
S2
|
S3
|
NK
|
Rasio
|
Z
|
||||||||
S1
|
||||||||
x2
|
2/3
|
1
|
4/3
|
0
|
1/3
|
0
|
1
|
|
S3
|
Perhitungan nilai barisnya :
Baris z :
-8 -9 -4 0 0 0 0
-9 ( 2/3
1 4/3 0 1/3 0 1
) -
-2 0 8 0 3 0 9
Baris s1 :
1 1 2 1 0 0 2
1 (2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -
1/3 0 2/3 1 -1/3 0 1
Baris s3 :
7 6 2 0 0 1 8
6 (
2/3 1 4/3 0 1/3 0 1 ) -
3 0 -6 0 -2 1 2
Maka tabel iterasi 1 ditunjukkan tabel di bawah. Selanjutnya kita periksa
apakah tabel sudah optimal atau belum. Karena nilai baris z di bawah variabel x1
masih negatif, maka tabel belum optimal. Kolom dan baris pivotnya ditandai pada tabel di bawah ini :
VB
|
X1
|
X2
|
X3
|
S1
|
S2
|
S3
|
NK
|
Rasio
|
Z
|
-2
|
0
|
8
|
0
|
3
|
0
|
9
|
-
|
S1
|
1/3
|
0
|
2/3
|
1
|
-1/3
|
0
|
1
|
3
|
X2
|
2/3
|
1
|
4/3
|
0
|
1/3
|
0
|
1
|
3/2
|
S3
|
3
|
0
|
-6
|
0
|
-2
|
1
|
2
|
2/3
|
Variabel masuk dengan demikian
adalah X1 dan variabel keluar adalah S3
. Hasil perhitungan iterasi
ke 2 adalah sebagai berikut :
Iterasi 2 :
VB
|
X1
|
X2
|
X3
|
S1
|
S2
|
S3
|
NK
|
Rasio
|
Z
|
0
|
0
|
4
|
0
|
5/3
|
2/3
|
31/3
|
|
S1
|
0
|
0
|
4/3
|
1
|
-1/9
|
-1/9
|
7/9
|
|
X2
|
0
|
1
|
8/3
|
0
|
7/9
|
-2/9
|
5/9
|
|
X1
|
1
|
0
|
-2
|
0
|
-2/3
|
1/3
|
2/3
|
Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan !
Perhitungan dalam simpleks menuntut
ketelitian tinggi, khususnya jika angka
yang digunakan adalah pecahan. Pembulatan harus diperhatikan dengan baik. Disarankan jangan menggunakan
bentuk bilangan desimal, akan lebih teliti jika menggunakan bilangan pecahan.
Pembulatan dapat menyebabkan iterasi lebih panjang atau bahkan tidak selesai
karena ketidaktelitian dalam melakukan pembulatan.
Perhitungan iteratif dalam simpleks pada dasarnya merupakan pemeriksaan
satu per satu titik-titik ekstrim layak pada daerah penyelesaian. Pemeriksaan
dimulai dari kondisi nol (dimana semua aktivitas/variabel keputusan bernilai
nol). Jika titik ekstrim berjumlah n, kemungkinan terburuknya kita akan
melakukan perhitungan iteratif sebanyak n kali.
MEMBACA TABEL OPTIMAL
Membaca tabel
optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal yang bisa dibaca dari table
optimal :
- Solusi optimal variable keputusan
- Status sumber daya
- harga bayangan (dual/shadow prices).
Menggunakan
table optimal :
VB
|
X1
|
X2
|
X3
|
S1
|
S2
|
S3
|
NK
|
Z
|
0
|
0
|
4
|
0
|
5/3
|
2/3
|
31/3
|
S1
|
0
|
0
|
4/3
|
1
|
-1/9
|
-1/9
|
7/9
|
X2
|
0
|
1
|
8/3
|
0
|
7/9
|
-2/9
|
5/9
|
X1
|
1
|
0
|
-2
|
0
|
-2/3
|
1/3
|
2/3
|
Solusi optimal X1
= 2/3, X2 = 5/9 , X3 = 0 dan Z = 31/3,
artinya untuk mendapatkan keuntungan maksimum sebesar $ 31/3 , maka perusahaan
sebaiknya menghasilkan produk 1 sebesar 2/3 unit dan produk 2 sebesar 5/9 unit.
Status sumber daya :
Sumber daya
pertama dilihat dari keberadaan variable basis awal dari setiap fungsi kendala
pada table optimal. Dalam kasus di atas, untuk fungsi kendala pertama periksa
keberadaan S1 pada variable basis table optimal. Periksa keberadaan S2
pada variable basis table optimal untuk fungsi kendala kedua. Periksa
keberadaan S3 pada variable basis table optimal untuk fungsi kendala
ketiga.
S1 =
7/9. Sumber daya ini disebut berlebih (abundant)
S2 = S3
= 0. Kedua sumber daya ini disebut habis terpakai (scarce).
Harga bayangan :
Harga bayangan
dilihat dari koefisien variable slack atau surplus pada baris fungsi tujuan.
Koefisien S1
pada baris fungsi tujuan table optimal = 0, dengan demikian harga bayangan
sumber daya pertama adalah 0
Koefisien S2
pada baris fungsi tujuan table optimal = 5/3, dengan demikian harga bayangan
sumber daya kedua adalah 5/3
Koefisien S3
pada baris fungsi tujuan table optimal = 2/3, dengan demikian harga bayangan
sumber daya kedua adalah 2/3.
Sumber :
Siringoringo, Hotniar. Seri Teknik Riset
Operasional. Pemrograman Linear. Penerbit Graha Ilmu. Yogyakarta. 2005.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar