Ali Tutupohos Punya Blog: VEKTOR DALAM RUANG EUKLIDIAN

Euklidian dalam n-Ruang

Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a₁.a₂.....a_n). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a₁, a₂, a₃) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a₂, a₂, a₃ merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a₁, a₂, a₃ merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a₁, a₂, ...., a_n) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.

u₁ = v₁

                               u₂ = v₂
                               u_n = v_n

Penjumlahan u + v didefinisikan oleh

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, ...., u_n + v_n)
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (k u₁, k u₂,...,k u_n)
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor

0 = (0, 0,...., 0) Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh

-u = (-u1, -u2, ...., -un)
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh

v – u = v + (-u) atau, dalam istilah komponen,

v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)

Sifat-sifat dari vektor dalam $R^n$

jika $\mathbf{u} = u_{1}, u_{2},..., u_{n}$ , $\mathbf{v} = v_{1}, v_{2},..., v_{n}$ , dan $\mathbf{w} = w_{1}, w_{2},..., w_{n}$ adalah vektor dalam $R^n$ sedangkan k dan m adalah skalar, maka :

(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u = k u + m u
(h) 1u = u

Perkalian dot product $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ didefinisikan sebagai

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n}$

Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi

Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector $y= (y1,y2,...,yn)$ dalam $R^n$ dalam setiap $y_1,y_2,....,y_n$ adalah nilai yang terukur.
Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel $x= (x_1,x_2,...,x_15)$ dalam setiap $x_1$ adalah jumlah truk dalam depot pertama dan $x_2$ adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam $R^4$ dan tegangan output bisa ditulis sebagai $R^3$ . Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input $v = (v_1,v_2,v_3,v_4)$ dalam $R^4$ ke vector keluaran $w = (w_1,w_2,w_3)$ dalam $R^3$ .
Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk $v = (x,y,h,s,b)$ dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisis ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel $s = (s_1,s_2,s_3,...,s_10)$ dalam setiap angka $s_1,s_2,...,s_10$ adalah output dari sektor individual.
Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah $x_1,x_2,...,x_6$ dan kecepatan mereka adalah $v_1,v_2,...,v_6$ . Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector

$V = (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,t)$ Dalam $R^13$ . Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.

Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein (http://id.wikipedia.org/wiki/Einstein) adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi

Menemukan norm dan jarak

Menghitung Panjang vektor u dalam ruang $R^n$
jika u = $(u_1,u_2,u_3,...,u_n)$

Maka Panjang vektor u

$|\bar{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + . . . + u_n^2}$
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v

$d(u,v) = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + (u_3 - v_3)^2 + . . . + (u_n - v_n)^2}$

Bentuk Newton

interpolasi polinominal p(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x₀,y₀),(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃).
Jika kita tuliskan P(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀
bentuk equivalentnya : p(x)=a₃(x-x₀)³+p(x)=a₂(x-x₀)²+p(x)=a₁(x-x₀)+a₀
dari kondisi interpolasi p(x₀)=y_o maka didapatkan a₀=y_o , sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=b₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)+b₂(x-x₀)(x-x₁)+b₁(x-x₀)+b₀ inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :

p(x₀)=b₀
p(x₁)=b₁h₁+b₀
p(x₂)=b₂(h₁+h₂)h₂+b₁(h₁+h₂)+b₀
p(x₃)=b₃(h₁+h₂+h₃)(h₂+h₃)h₃+b₂(h₁+h₂+h₃)(h₂+h₃)+b₁(h₁+h₂+h₃)+b₀

sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:

Operator Refleksi

Berdasarkan operator T:R² -> R² yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x₁ = -x = -x + 0y
x₂ = y = 0x + y
atau dalam bentuk matrik : $\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}$

Secara umum, operator pada R² dan R³ yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.

Operator Proyeksi

Berdasarkan operator T:R² -> R² yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x₁ = x = x + 0y
x₂ = 0 = 0x + 0y
atau dalam bentuk matrik : $\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} w_1\\ w_2\\ \end{bmatrix}$

Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah:
$\begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}$
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R² dan R³ merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.

Operator Rotasi

Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R² melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R². Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w₁ = r cos (ɵ + ɸ) ; w₂= r sin (ɵ + ɸ)

Menggunakan identitas trigonometri didapat:

w₁ = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
w₂ = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ

kemudian disubtitusi sehingga:

w₁ = x cos Θ - y sin Θ
w₂ = x sin Θ + y cos Θ

Persamaan di atas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan di atas adalah: $\begin{bmatrix} T\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos\Theta & -sin\Theta\\ sin\Theta & cos\Theta\\ \end{bmatrix}$

Interpolasi Polinomial

Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x₀,y₀)...., (x_n,y_n). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = a_m $x^m$ + a_m-1 $x^{m-1}$ + ... + a₁x + a₀ dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi

$\begin{matrix} {y_0}& = &a_mx_0^m &+& a_{m-1}x_0^{m-1} &+...+& a_1x_0 &+& a_0\\ {y_1}& = &a_mx_1^m &+& a_{m-1}x_1^{m-1} &+...+& a_1x_1 &+& a_0\\ \vdots& &\vdots& &\vdots& &\vdots& &\vdots\\ {y_n}& = &a_mx_n^m &+& a_{m-1}x_n^{m-1} &+...+& a_1x_n &+& a_0\\ \end{matrix}$

karena x_i diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini

$\begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^m\\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^m\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^m\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^m\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_{m-1}\\ a_m\\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} y_0\\ y_1\\ \vdots\\ y_{n-1}\\ y_n\\ \end{bmatrix}$

Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):

$\begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n\\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots &\vdots\\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^n\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_{n-1}\\ a_n\\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} y_0\\ y_1\\ \vdots\\ y_{n-1}\\ y_n\\ \end{bmatrix}$ (1)

Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.

Contoh soal: Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.

Jawab: Bentuk Sistem Vandermonde(1): $\begin{bmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & x_0^3\\ 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3\\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3\\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} y_0\\ y_1\\ y_2\\ y_3\\ \end{bmatrix}$
Untuk data di atas, kita mempunyai $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4 & 8\\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 6\\ \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 4 & 8 & 6\\ \end{bmatrix}$
Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 3 & 3 & 9 & 6\\ \end{bmatrix}$ Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 3 & 2\\ \end{bmatrix}$ Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 3 & 2\\ \end{bmatrix}$ Baris ke-3 dikurangi baris ke-2
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2\\ \end{bmatrix}$ Baris ke-4 dikurangi baris ke-2
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}$ Baris ke-4 dibagi dengan 2
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{bmatrix}$ Baris ke-4 dikurangi baris ke-3

Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas

$\begin{matrix} a_0&+&a_1&+&a_2&+&a_3 &=&0\Longleftrightarrow a_0 = 0\\ & &a_1&-&a_2&+&a_3&=&0\Longleftrightarrow a_1 = -1\\ & & & &a_2& & &=&0\\ & & & & & &a_3&=&1\\ \end{matrix}$
Jadi, interpolasinya adalah $p(x) = x^3 - x\,$

Sumber:

http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Vektor_dalam_Ruang_Euklidian

Share on :

1 komentar:

salemnadler3 Maret 2022 pukul 12.52
New casinos in Colorado - DrmCD
We've compiled a list of all of your Colorado casino bonus offers and 광주광역 출장마사지 promos. Check 태백 출장안마 out which 광주광역 출장마사지 is the best 서울특별 출장샵 overall online 과천 출장샵 casino bonus offer you'll find.
BalasHapus
Balasan

Tambahkan komentar