Ali Tutupohos Punya Blog: NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Nilai Eigen

Nilai eigen merupakan nilai karakteristik suatu matriks. Secara sederhana, nilai eigen merupakan nilai yang mempresentasikan suatu matriks dalam perkalian dengan suatu vektor, dapat ditulis sebagai:

$\textup{A}\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$

di mana A suatu matriks, x merupakan vektor, dan λ merupakan nilai eigen dari matriks A. Nilai eigen matriks A dapat dicari dengan

$\textup{A}\mathbf{x}-\lambda \mathbf{x}=0$

$(\textup{A}-\lambda)\mathbf{x}=0$

Misalkan diberikan A metriks 3x3 dan vektor x

$\textup{A} = \begin{pmatrix} -8 & 21 & -9\\ -14 & 31 & -13\\ -22 & 45 & -19 \end{pmatrix} \textup{dan }\textbf{x} = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$

maka (A-λ)x = 0 dapat ditulis

$\begin{pmatrix} -8-\lambda & 21 & -9\\ -14 & 31-\lambda & -13\\ -22 & 45 & -19-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} =0$

Untuk mencari nilai λ yang sesuai, terlebih dahulu dihitung determinan dari (A-λ) dengan metode Sarrus atau ekspansi kofaktor, diperoleh

$\textup{det}(\textup{A}-\lambda)=(-8-\lambda)\begin{vmatrix} 31-\lambda & -13\\ 45 & -19-\lambda \end{vmatrix}-21\begin{vmatrix} -14 & -13\\ -22 & -19-\lambda \end{vmatrix}-9\begin{vmatrix} -14 & 31-\lambda\\ -22 & 45 \end{vmatrix}$

$\textup{det}(\textup{A}-\lambda)=-\lambda^3+4\lambda^2+4\lambda-16$

polinomial yang didapatkan di atas disebut polinomial karakteristik. Jika dicari dengan pemfaktoran atau dengan bantuan Matlab, diperoleh -λ³+4λ²+4λ-16 = (λ+2)(-λ+2)(λ-4)

sehingga didapatkan ketiga nilai eigen yaitu λ = 2, λ = -2 dan λ = 4

Cara spesial untuk memperoleh polinomial karakteristik matriks 2x2 dan 3x3 ialah:

☺ 2x2 -> det(A) - λ.trace(A) + λ²

☺ 3x3 -> det(A) - λ.(M₁₁ + M₂₂ + M₃₃) + λ².trace(A) - λ³

Vektor Eigen

Vektor eigen(x) merupakan solusi dari matriks (A-λ) untuk setiap nilai λ yang ada di mana x ≠ 0. Misalkan pada matriks A tadi mempunyai tiga nilai eigen, maka vektor eigennya juga ada tiga. Misalkan untuk λ = 2

$\begin{pmatrix} -8-(2) & 21 & -9\\ -14 & 31-(2) & -13\\ -22 & 45 & -19-(2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ -14 & 29 & -13\\ -22 & 45 & -21 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

SPL di atas dapat diselesaikan dengan metode Gauss atau Gauss-Jordan. Metode Crammer tak dapat digunakan karena matriks di atas tidak memiliki solusi sejati (determinannya = 0). Jadi kita hanya dapat memperoleh solusi trivialnya dengan menyatakan a, b, dan c misalkan dalam c. Dengan metode Gauss, matriks segitiga atas yang diperoleh setelah melakukan operasi baris elementer (OBE) yaitu:

$\begin{pmatrix} -10 & 21 & -9\\ 0 & -0,4 & -0,4\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

jika a, b, c kita nyatakan dalam c, diperoleh

-0,4b - 0,4c = 0

-10a + 21b - 9c = 0

dari kedua persamaan di atas diperoleh b = -c dan a = -3c. Jadi vektor eigen untuk λ = 2 ialah

$\mathbf{x}_1= \begin{pmatrix} -3c\\ -c\\ c \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$

untuk λ = -2, jika dicari diperoleh

$\mathbf{x}_2= \begin{pmatrix} \frac{1}{4}c\\ \frac{1}{2}c\\ c \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}$

dan untuk λ = 4

$\mathbf{x}_3= \begin{pmatrix} c\\ c\\ c \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$

Sumber:

http://paradoks77.blogspot.com/2011/08/nilai-eigen-dan-vektor-eigen.html

Share on :

Ali Tutupohos Punya Blog

Kamis, 28 Maret 2013

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Tidak ada komentar:

Posting Komentar