Get Gifs at CodemySpace.com

Kamis, 28 Maret 2013

MATRIKS BALIKAN (INVERS)


Orde 2x2

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A^{-1} ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B^{-1}. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix} dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

A^{-1} = \frac{1} {det (A)}\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a \\
\end{bmatrix} = \frac{1} {ad-bc}\begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{d} {ad-bc} & -\frac{b} {ad-bc} \\
-\frac{c} {ad-bc} & \frac{a} {ad-bc} \\
\end{bmatrix}

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

Contoh 1: Matriks
A = \begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} = I (matriks identitas)
BA = \begin{bmatrix}
3 & 5 \\
1 & 2 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & -5 \\
-1 & 3 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} = I (matriks identitas)

Maka dapat dituliskan bahwa B = A^{-1} (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2: Matriks
A = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix} dan B = \begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3 & 4 \\
6 & 8 \\
\end{bmatrix}
BA = \begin{bmatrix}
2 & 5 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
17 & 21 \\
15 & 19 \\
\end{bmatrix}

Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3: Matriks
A = \begin{bmatrix}
3 & 1 \\
5 & 2 \\
\end{bmatrix}
Tentukan Nilai dari A-1

Jawab: A^{-1} =\frac{1} {(3)(2)-(5)(1)}\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix} = \frac{1} {6-5}\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix} = \frac{1} {1}\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-5 & 3 \\
\end{bmatrix}


Contoh 4: Matriks

A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 3 \\
\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}
3 & 2 \\
2 & 2 \\
\end{bmatrix}, AB = \begin{bmatrix}
7 & 6 \\
9 & 8 \\
\end{bmatrix}
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
A^{-1} = \begin{bmatrix}
3 & -2 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}, B^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & \frac{3} {2} \\
\end{bmatrix}, (AB)^{-1} = \begin{bmatrix}
4 & -3 \\
-\frac{9} {2} & 7 \\
\end{bmatrix}
Maka
B^{-1} A^{-1}= \begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & \frac{3} {2} \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3 & -2 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
4 & -3 \\
-\frac{9} {2} & 7 \\
\end{bmatrix}
Ini membuktikan bahwa (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

Orde 3x3

A = \begin{bmatrix}
 3 &  2 & -1\\
 1 &  6 &  3\\
 2 & -4 &  0\\
\end{bmatrix}
kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16

menjadi matrix kofaktor

\begin{bmatrix}
 12 &  6  & -16\\
 4  &  2  &  16\\
 12 & -10 &  16\\
\end{bmatrix}
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadi
adj(A) = \begin{bmatrix}
 12 &  4 &  12\\
  6 &  2 & -10\\
-16 & 16 &  16\\
\end{bmatrix}
A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A)

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
\mathit{det(A) = 64}
A^{-1} = \frac{1}{det(A)}adj(A) = \frac{1}{64} \begin{bmatrix}
 12 &  4 &  12\\
  6 &  2 & -10\\
-16 & 16 &  16\\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
 \frac{12}{64} & \frac{4}{64}  &  \frac{12}{64}\\
 \frac{6}{64}  & \frac{2}{64}  & -\frac{10}{64}\\
-\frac{16}{64} & \frac{16}{64} &  \frac{16}{64}\\
\end{bmatrix}

Penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan matriks (Orde 3x3)

Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
X_{1} =  \frac{det(A_{1})} {det(A)},  X_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)}, ... ,  X_{n} = \frac{det(A_{n})} {det(A)}
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
Contoh soal: Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab: bentuk matrik A dan b
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2\\
-3 & 4 & 6\\
-1 & -2 & 3\\
\end{bmatrix} b = \begin{bmatrix} 6\\ 30\\ 8\\ \end{bmatrix}
kemudian ganti kolom j dengan matrik b
A1 = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 2\\ 30 & 4 & 6\\ 8 & -2 & 3\\ \end{bmatrix} A2 = \begin{bmatrix} 1 & 6 & 2\\ -3 & 30 & 6\\ -1 & 8 & 3\\ \end{bmatrix} A3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 6\\ -3 & 4 & 30\\ -1 & -2 & 8\\ \end{bmatrix}
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas
maka,
 x_{1} = \frac{det(A_{1})} {det(A)} = \frac{-40} {44} = \frac{-10} {11}
 x_{2} = \frac{det(A_{2})} {det(A)} = \frac{72} {44} = \frac{18} {11}
 x_{3} = \frac{det(A_{3})} {det(A)} = \frac{152} {44} = \frac{38} {11}

R=Er...E2 E1 A
dan,
det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)

Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
A=\begin{bmatrix}
 1 &  2 &  3\\
 1 &  0 &  1\\
 2 &  4 &  6\\
\end{bmatrix}
karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.

Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx

dalam sistem aljabar linear sering ditemukan
      Ax = λx    ; dimana λ adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi
      (λI - A) x = 0

contoh:
diketahui persamaan linear
      x1 + 3x2 = λx1
     4x1 + 2x2 = λx2
dapat ditulis dalam bentuk
     \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = λ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}
yang kemudian dapat diubah
A =\begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix}dan x =\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix}
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
     λ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
     λ \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
sehingga didapat bentuk
     λ I - A = \begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix}
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi
     detI - A) = 0  ;λ adalah eigenvalue dari A
dan dari contoh diperoleh
     detI - A) = \begin{bmatrix} \lambda\,\!-1 & -3\\ -4 & \lambda\,\!-2\\ \end{bmatrix} = 0
atau λ^2 - 3λ - 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh
      \begin{bmatrix} -3 & -3\\ -4 & -4\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}
dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t
      x = \begin{bmatrix} -t\\ t\\ \end{bmatrix} 
 
 
Sumber:

http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear#Determinan 
 

Share on :

Tidak ada komentar:

Posting Komentar